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Introduzione
Pitagora - Fibonacci - Tartaglia

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Pitagora e i pitagorici


Nato nell'isola di Samo (Grecia) nel VI secolo a.C. fu uno dei più importanti matematici-filosofi della storia.
Discepolo del filosofo Anassimandro, in età adulta si trasferì nella magna Grecia, per la precisione a Crotone, dove fondò la scuola pitagorica, un gruppo di filosofi matematici, interessati oltre a queste discipline, anche alla musica, alla medicina e all'astronomia.
Si pensa che Pitagora viaggiò molto in Egitto e in Asia Minore, dove apprese le teorie aritmetiche e geometriche che diffuse in occidente: lo stesso teorema a lui attribuito infatti era già noto agli Egizi e ai Babilonesi, il merito di Pitagora fu quello di formalizzare a livello teorico quello che si sapeva per via empirica.

Nonostante sia noto principalmente per questo teorema geometrico, Pitagora prediligeva lo studio dell'aritmetica, in particolare lo studio dei numeri interi e le loro proprietà: la sua filosofia era che ogni cosa in natura poteva essere ricondotta ai numeri naturali, per questo accettava a malincuore l'utilizzo di numeri razionali, e negava fermamente la possibilità che esistessero numeri irrazionali...

Da molti vista come una confraternita o una setta religiosa (in quanto cercavano di tenere segrete le loro teorie), la scuola pitagorica dette un grande contributo alla matematica: uno dei lavori più importanti assegnati ai suoi discepoli fu la dimostrazione che esistesse un numero, per lo meno razionale, il cui quadrato fosse 2; in generale la matematica era per i pitagorici il fondamento della realtà.
La scuola pitagorica aveva delle norme molto rigide: i discepoli praticavano l'ascetismo, uno studio continuo dell'aritmetica in ottica metafisica, dell'etica e della politica, e credevano nella trasmigrazione delle anime.

I numeri


La filosofia pitagorica si basa sulla centralità del concetto di NUMERO, come legame armonioso tra tutte le cose in natura: ogni essere vivente, oggetto, teoria, emozione, e sensazione è misurabile, quindi riconducibile ad un numero o ad un insieme di numeri, tanto che i pitagorici associavano ai numeri un valore metafico, mistico: ogni numero aveva una propria importanza, e un suo significato proprio, ad esempio:
1 - sorgente iniziale, indivisibililtà
2 - donna
3 - uomo
4 - ordine, giustizia
5 - matrimonio
...
10 - completezza

A questo significato generico, veniva affiancato anche un significato geometrico:
1 - punto
2 - retta
3 - superficie
4 - solido

Estrema importanza veniva data al numero 10: era ottenuto come la somma dei quattro numeri geometrici, a significare che conteneva tutti i concetti geometrici di base, e poteva essere quindi rappresentato da un insieme di 10 punti messi a forma triangolare, di lato 4:

Tetrakis
Figura 1

Questa costruzione veniva chiamata « Τητρακτυσ » (Tetraktis = formato dal 4, vedi figura 1) e aveva un valore mistico, in quanto era considerato il numero completo, che rappresentava tutto l'universo.; un'importante invenzione numerica fu la tavola pitagorica, una tabella con tutti i multipli dei numeri interi da 1 a 12 (ancora presente in alcuni libri e quaderni).
In particolare le scienza e la fisica erano discipline strettamente connesse con la matematica in quanto senza la possibilità di una misura perdevano importanza; inoltre la conoscenza dei numeri era il miglior modo di purificare la propria anima, in vista della trasmigrazione.
Anche la musica era studiata come applicazione della matematica: le diverse note si relazionavano in base a rapporti di valore, e due suoni erano in armonia se vi era uguaglianza di rapporti, ovvero proporzione.

Il teorema di Pitagora


Nei suoi viaggi Pitagora visitè l'Egitto e l'Asima minore, ove apprese che esisteva una relazione tra i quadrati di alcuni numeri: ad esempio il quadrato di 3 e di 4, sommati, formano il quadrato di 5. In queste civiltà questa relazione veniva usata in ambito geometrico, con lo studio dei triangoli rettangoli (vedi figura 2), e in architettura, in particolare nella costruzione di piramidi in Egitto.

Siano a e b le misure dei due cateti di un triangolo rettangolo e sia c la misura dell'ipotenusa; allora:
a² + b² = c²

il teorema di pitagora
Figura 2

Il merito di Pitagora fu di generalizzare questa scoperta, di astrarla e di aggiungerla alle proprietà dei numeri da lui già scoperte; non si sa di preciso se dava importanza all'applicazione geometrica, ma di sicuro coltivò molto il lato algebrico, tanto da imbattersi in alcune situazioni apparentemente impossibili: non tutti i numeri rispettano questa relazione, ad esempio il quadrato di 1 e di 2 non formano il quadrato di alcun numero!
Da qui iniziò la lunga discussione tra i pitagorici riguardo all'esistenza di altri numeri oltre agli interi, che rispettassero tale relazione.
Fu grazie a queste discussioni, che inizialmente costarono la vita ad alcuni discepoli considerati eretici, che in Grecia si arrivò ad accettare l'esistenza di numeri come √2 (nota appunto come costante di Pitagora) che era impossibile scrivere come rapporto di due numeri interi.

Le terne pitagoriche


Le terne pitagoriche sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:

a² + b² = c²

È possibile trovare terne pitagoriche mediante una formula precisa: sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:

Siano m, n due numero naturali qualunque, con n > m; allora:
a = n² – m²
b = 2 m n
c = n² + m²
forma una terna pitagorica

Data una terna pitagorica, se moltiplichiamo i tre numeri per un valore costante (intero positivo) allora otteniamo una nuova terna pitagorica. Vediamo alcuni esempi:

m n a b b note
1 2 3 4 5 terna primitiva e fondamentale
1 3 8 6 10 multipla di (3, 4, 5)
2 3 5 12 13 terna primitiva
1 4 15 8 17 terna primitiva
2 4 12 16 20 multipla di (3, 4, 5)
3 4 7 24 25 terna primitiva
1 5 24 10 26 multipla di (5, 12, 13)
2 5 21 20 29 terna primitiva
3 5 16 30 34 multipla di (8, 15, 17)
4 5 9 40 41 terna primitiva
... ... ... ... ...

Se i numeri m e n sono entrambi dispari, si può usare la formula ridotta:

a = (n² – m²) / 2
b = m n
c = (n² + m²) / 2

Ottenendo così altre possibili terne (oltre a riottenerne alcune già viste).
Ecco altri esempi:

m n a b b note
1 3 4 5 5 terna primitiva e fondamentale
1 5 12 5 13 terna primitiva
3 5 8 15 17 terna primitiva
1 7 24 7 25 terna primitiva
3 7 20 21 29 terna primitiva
5 7 12 35 37 terna primitiva
... ... ... ... ...

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