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Introduzione
Pitagora - Fibonacci - Tartaglia

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Leonardo Fibonacci


Fu un importante matematico vissuto a cavallo tra il XII e il XIII secolo; nato a Pisa (e per questo è noto anche come Leonardo Pisano), da giovane viaggiò molto insieme al padre mercante in Algeria e in asia minore, dove apprese la cultura araba, studiò la notazione posizionale, lo zero (che gli arabi a loro volta appresero dagli indiani) e le altre nove cifre utilizzate dagli arabi per la numerazione.
Tornato a Pisa nel 1200, pubblicò la sua opera, "liber abaci", dove espose le sue scoperte e le sue teorie; fu in seguito accolto da Federico II, sovrano del Sacro Romano Impero, da cui ottenne un vitalizio per continuare i suoi studi in aritmetica e in geometria.
In ambito aritmetico, approfondì lo studio dei numeri naturali e delle successioni di numeri: il suo più importante risultato fu la successione che da lui prese il nome, dotata di proprietà molto rilevanti.

La successione di Fibonacci


È una sequenza logica di infiniti numeri naturali, introdotta da Fibonacci per studiare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli.

I numeri della successione F(n) sono ottenuti seguendo le seguenti regole:

  • il primo numero della successione, F(0), è 0;
  • il secondo numero della successione, F(1), è 1;
  • ogni numero successivo è ottenuto sommando i due numeri precedenti: F(n) = F(n–1) + F(n–2).

Si ottiene una successione i cui primi termini sono:

F (0) = 0

F (10) = 55

F (1) = 1

F (11) = 89

F (2) = 1

F (12) = 144

F (3) = 2

F (13) = 233

F (4) = 3

F (14) = 377

F (5) = 5

F (15) = 610

F (6) = 8

F (16) = 987

F (7) = 13

F (17) = 1597

F (8) = 21

F (18) = 2584

F (9) = 34

F (20) = 4181

Tale successione è crescente e divergente, ossia aumenta sempre più senza stabilizzarsi.

Più interessante è la successione R(n) dei rapporti tra termini consecutivi: R(n) = F(n)/F(n-1): è una successione di numeri positivi, i cui valori oscillano sempre meno: in effetti si osserva che converge al numero φ, la costante di Fidia (o rapporto aureo), il cui valore è circa 1,61803399.

R (0) = -

R (10) = 1,617647...

R (1) = -

R (11) = 1,618182...

R (2) = 1

R (12) = 1,616977...

R (13) = 1,618055...

F (13) = 233

R (4) = 1,5

R (14) = 1,618026...

R (5) = 1,666666...

R (15) = 1,618037...

R (6) = 1,6

R (16) = 1,618033...

R (7) = 1,625

R (17) = 1,618034...

R (8) = 1,615385...

R (18) = 1,618034...

R (9) = 1,619048...

R (19) = 1,618034...

Infine, utilizzando la costante φ, possiamo dare la formula generica della successione di Fibonacci, per mezzo della formula di Binet:

F(n) = [ φn – (1 – φ)n ] / √5


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