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Costante di Eulero-Mascheroni

simbolo usato: γ

usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della differenza H(n) − ln(n) [vedi sotto]

valore approssimativo: 0,5772156649...

Storia

Fu studiata nel XVIII secolo da Eulero (Leonhard Euler), che ne calcolò le prime cifre, e in seguito approfondito da Lorenzo Mascheroni, che ne studiò le proprietà e ne calcolò altre cifre.

È una costante molto utile dell'analisi matematica e della teoria dei numeri, in quanto il suo studio coinvolge somme parziali, limiti e integrali.

Proprietà

  • Sebbene sia la serie armonica H(n) = Σ(1/k), sia la successione logaritmica ln(n) siano successioni divergenti per n → ∞, tuttavia la loro differenza è una successione convergente, che si avvicina sempre più al valore della costante γ.
  • Il suo studio nelle scuole superiori è limitato ad una descrizione qualitativa: γ è citata come esempio del limite finito della differenza tra due successioni divergenti.
  • È un numero reale, ma non è ancora chiaro se sia razionale o irrazionale.
  • La sua principale proprietà è la connessione con la funzione gamma di Eulero, Γ(x), un'estensione del fattoriale sui numeri reali.

Unità immaginaria

simbolo usato: i

usato per: indicare il numero (immaginario) il cui quadrato sia -1

valore approssimativo: non è un numero reale

Storia

L'unità immaginaria fu introdotta nel XVI secolo come artificio algebrico, studiata da Tartaglia e Cartesio per la risoluzione di equazioni algebriche che non ammettevano soluzioni reali; nel XVIII secolo con Eulero fu formalizzata la teoria dei numeri complessi, che con Gauss entrano a far parte a pieno della teoria algebrica e analitica.

Proprietà

  • È un numero complesso, in particolare è un immaginario puro.
  • Valgono le seguenti identità:

    i2 = −1     i3 = −i     i4 = 1     i5 = i

  • i è utilizzato per estendere i numeri reali R ai numeri complessi C (vedi insiemi numerici) ottendendo quindi un insieme di numeri "algebricamente chiuso":
    ogni polinomio a coefficenti interi di grado n ha esattamente n zeri complessi
    (per zero di un polinomio si intende una sua radice, ossia un valore della lettera che rende nullo il polinomio).
  • Vale la seguente identità di Eulero tra numeri complessi:

    ei π + 1 = 0

    che è un caso particolare dell Formula di Eulero:

    ei α = cos(α) + i·sen(α)

    nel caso in cui α = π.
    Si può osservare che l'identità di Eulero contiene ben 5 costanti fondamentali: 0, 1, i, e, π.


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