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Costante di Archimede

simbolo usato: π ("pi", la p dell'alfabeto greco)

usato per: indicare il rapporto costante esistente tra una circonferenza e il suo diametro

valore approssimativo: 3,1415926536...

Storia

Conosciuta spesso come pi greco, è chiamata costante di Archimede in onore al famoso matematico siracusano, che riuscì a darne una stima molto precisa grazie al metodo delle approssimazioni successive; tuttavia anche altre popolazioni antiche, come i Babilonesi, gli Egizi, gli Ebrei e i Cinesi conoscevano l'esistenza di un rapporto costante tra circonferenza e diametro, ma gli diedero una stima molto approssimata (per i cinesi π = 3).
Con la rivoluzione scientifica e la scoperta del calcolo infinitesimale si danno stime sempre più precise di questa costante ed Eulero adotta il simbolo π per indicare il perimetro del cerchio (la circonferenza).
Solo nel XVIII secolo, grazie a Lambert, si prova che π è un numero irrazionale, e quindi non può esser espresso come frazione. Al giorno d'oggi si conoscono più di 1200 miliardi di cifre decimali di π.

Proprietà

  • È un numero reale trascendente; sin dall'antichità si è cercato di calcolarlo, per risolvere il problema della quadratura del cerchio; ma solo pochi secoli fà si dimostrò che fosse un numero irrazionale.
  • Dalla definizione segue la relazione C : d = π.
  • Utilizzando π otteniamo le formule per:
    1. la circonferenza: C = πd = 2πr
    2. l'area del cerchio: A = πr2
    3. la superficie sferica: S = 4πr2
    4. il volume della sfera: V = 4πr3 / 3

    e le varie formule collegate.

  • In trigonometria un angolo piatto (180°) vale π radianti e di conseguenza un angolo giro è ampio 2π radianti.

Costante di Nepero

simbolo usato: e

usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della successione (1 + 1/n)n

valore approssimativo: 2,7182818285...

Storia

È chiamata costante di Nepero in onore al matematico John Napier (Nepero), che introdusse i logaritmi: fu proprio in una sua tavola dei logaritmi che compare il valore di e, ma non come costante.
Successivamente Bernoulli studiò la successione (1 + 1/n)n, osservando che era convergente; Leibniz e Huygens iniziarono a considerarla una vera e propria costante matematica.
Fu ripresa anche da Eulero, che per primo la identificò con la lettera e: per questo tale costante è nota anche come Costante di Eulero.

Proprietà

  • È anche il limite, per n → ∞, della successione (1 − 1/n)n;
    le due successioni convergono in maniera monotona, una dall'alto e una dal basso, al numero e.
  • Anche la serie ∑(1 / n!) per n che va da 0 a ∞, converge al numero e (il ! indica il fattoriale).
  • È un numero reale trascendente.
  • Viene usato come base del logaritmo naturale; quindi:

    loge(x)   =   ln(x)

    e ovviamente ln(e) = 1.

  • la funzione esponenziale ƒ(x) = ex ha la seguente proprietà: ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...
    ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.

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