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Costante di Archimede


Simbolo: π (la "pi" dell'alfabeto greco)

Usato per: indicare il rapporto costante esistente tra una circonferenza e il suo diametro

Valore approssimativo: 3,1415926536...

Classificazione: numero irrazionale, trascendente, reale.

Storia

Conosciuta spesso come pi greco, è chiamata costante di Archimede in onore al famoso matematico siracusano, che riuscì a darne una stima molto precisa grazie al metodo delle approssimazioni successive; tuttavia anche altre popolazioni antiche, come i Babilonesi, gli Egizi, gli Ebrei e i Cinesi conoscevano l'esistenza di un rapporto costante tra circonferenza e diametro, ma gli diedero una stima molto approssimata (per i cinesi π = 3).
Con la rivoluzione scientifica e la scoperta del calcolo infinitesimale si danno stime sempre più precise di questa costante ed Eulero adotta il simbolo π per indicare il perimetro del cerchio (la circonferenza).
Solo nel XVIII secolo, grazie a Lambert, si prova che π è un numero irrazionale, e quindi non può esser espresso come frazione. Al giorno d'oggi si conoscono più di 1200 miliardi di cifre decimali di π.

Proprietà

  • È un numero reale trascendente; sin dall'antichità si è cercato di calcolarlo, per risolvere il problema della quadratura del cerchio; ma solo pochi secoli fà si dimostrò che fosse un numero irrazionale.
  • Dalla definizione segue la relazione C : d = π.
  • Utilizzando π otteniamo le formule per:
    1. la circonferenza: C = πd = 2πr
    2. l'area del cerchio: A = πr2
    3. la superficie sferica: S = 4πr2
    4. il volume della sfera: V = 4πr3 / 3

    e le varie formule collegate.

  • In trigonometria un angolo piatto (180°) vale π radianti e di conseguenza un angolo giro è ampio 2π radianti.

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Costante di Nepero


Simbolo: e

Usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della successione (1 + 1/n)n

Valore approssimativo: 2,7182818285...

Classificazione: numero irrazionale, trascendente, reale.

Storia

È chiamata costante di Nepero in onore al matematico John Napier (Nepero), che introdusse i logaritmi: fu proprio in una sua tavola dei logaritmi che compare il valore di e, ma non come costante.
Successivamente Bernoulli studiò la successione (1 + 1/n)n, osservando che era convergente; Leibniz e Huygens iniziarono a considerarla una vera e propria costante matematica.
Fu ripresa anche da Eulero, che per primo la identificò con la lettera e: per questo tale costante è nota anche come Costante di Eulero.

Proprietà

  • È anche il limite, per n → ∞, della successione (1 − 1/n)n;
    le due successioni convergono in maniera monotona, una dall'alto e una dal basso, al numero e.
  • Anche la serie ∑(1 / n!) per n che va da 0 a ∞, converge al numero e (il ! indica il fattoriale).
  • È un numero reale trascendente.
  • Viene usato come base del logaritmo naturale; quindi:

    loge(x)   =   ln(x)

    e, per le proprietà dei logaritmi, ln(e) = 1.
  • la funzione esponenziale ƒ(x) = ex ha la seguente proprietà: ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...
    ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.

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Costante di Eulero-Mascheroni


Simbolo: γ (la "gamma" dell'alfabeto greco)

Usato per: indicare il limite (finito), per n → ∞, della differenza H(n) − ln(n) [vedi sotto]

Valore approssimativo: 0,5772156649...

Classificazione: numero reale (non si sa se razionale o irrazionale, algebrico o trascendente).

Storia

Fu studiata nel XVIII secolo da Eulero (Leonhard Euler), che ne calcolò le prime cifre, e in seguito approfondito da Lorenzo Mascheroni, che ne studiò le proprietà e ne calcolò altre cifre.

È una costante molto utile dell'analisi matematica e della teoria dei numeri, in quanto il suo studio coinvolge somme parziali, limiti e integrali.

Proprietà

  • Sebbene sia la serie armonica H(n) = Σ(1 ⁄ k), sia la successione logaritmica ln(n) siano successioni divergenti per n → ∞, tuttavia la loro differenza è una successione convergente, che si avvicina sempre più al valore della costante γ.
  • Il suo studio nelle scuole superiori è limitato ad una descrizione qualitativa: γ è citata come esempio del limite finito della differenza tra due successioni divergenti.
  • È un numero reale, ma non è ancora chiaro se sia razionale o irrazionale.
  • La sua principale proprietà è la connessione con la funzione gamma di Eulero, Γ(x), un'estensione del fattoriale sui numeri reali.

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