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Costante di Pitagora


Simbolo:2

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato

Valore approssimativo: 1,4142135624...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia

È stato il primo numero irrazionale "scoperto" in antichità: studiato oltre che dagli antichi greci, anche in Babilonia, nell'antico Egitto e in India, furono date stime molto precise con i metodi della somma di frazioni semplici.
I pitagorici, filosofi dell'universalità dei numeri razionali, si accorgerso che tale valore non può esser espresso come frazione, e Pitagora stesso ne studiò il valore e le proprietà, cercando invano prove per la sua teoria (ottenendo quindi una dimostrazione "per assurdo"...); fu proprio questo risultato che disilluse Pitagora sulla sua convinzione che tutti i numeri fossero razionali.

Proprietà

  • In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato: di conseguenza è anche uguale al rapporto tra l'ipotenusa e un cateto in un triangolo isoscele rettangolo.
  • 2 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 2; tuttavia è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:

    x ² − 2 = 0

  • I normali fogli di carta (A3, A4, A5...) hanno i lati il cui rapporto è proprio √2, in modo che dimezzando il foglio si ottiene un nuovo foglio simile a quello iniziale: infatti i due mezzi-fogli ottenuti hanno ancora i lati il cui rapporto è √2 !

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Costante di Teodoro


Simbolo:3

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e lo spigolo di un cubo

Valore approssimativo: 1.7320508076...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia

Sebbene il suo valore non fosse noto con precisione, in antichità il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo era usato spesso.
Teodoro di Cirene, un importante pitagorico, dimostrò che non esisteva alcun numero razionale il cui quadrato fosse 3.

Nella storia questo numero è importante in quanto è anche il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, quindi fu usato spesso in geometria e in arte.

Proprietà

  • In geometria rappresenta il rapporto tra la diagonale interna e lo spigolo di un cubo.
  • Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 60°, ossia la metà di un triangolo equilatero: esso ha il cateto minore che è metà dell'ipotenusa, di conseguenza (per il teorema di Piatagora) il rapporto tra i cateti è √3.
  • 3 è non è un numero razionale, in quanto non esiste nessuna frazione che al quadrato vale 3.
    È un numero reale algebrico, essendo è la radice positiva dell'equazione:

    x ² − 3 = 0

  • Se riprendiamo un normale foglio di carta (A3, A4, A5...) il rapporto tra il lato minore e la diagonale è proprio √3 !

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Costante di Fidia


Simbolo: φ ("phi", si legge "fi", è la f dell'alfabeto greco)

Usato per: indicare il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare

Valore approssimativo: 1,6180339887...

Classificazione: numero irrazionale, algebrico, reale.

Storia

Conosciuto più frequentemente come rapporto aureo, era noto già agli egizi e ai greci, e fu citato da Euclide nei suoi "Elementi"; corrisponde anche al rapporto tra il lato esterno di un pentagramma (o pentacolo) e il lato del pentagono interno, e per questo fu studiato dai pitagorici: essi consideravano il pentagramma una figura molto importante.
Nel medioevo assunse il nome di proporzione divina, per le sue numerose proprietà aritmetiche e geometriche (vedi di seguito), comparendo indirettamente negli studi di Fibonacci e di Leonardo da Vinci. Keplero ed Eulero nei loro studi lo ricollegarono alla successione di Fibonacci.

Il valore di φ come rapporto è ricorrente in natura, in quanto molte forme di piante e animali (persino il corpo umano) sono in rapporto di φ; in arte classica è stato spesso utilizzato da architetti, scultori o pittori nelle loro opere.
È chiamato costante di Fidia in quanto fu utilizzato dallo scultore greco in molte sue opere: nel Partenone di Atene ad esempio molte dimensioni stanno in rapporto uguale a φ.

Proprietà

  • Rispetta la proporzione: φ : 1 = 1 : (φ − 1); ciò ha un'applicazione in geometria:

    La sezione aurea di un segmento di lunghezza L è quel segmento di lunghezza x ≤ L tale che:

    L : x = x : (L − x)

  • Sempre in geometria, è il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare;.
  • φ non è un numero razionale: esso corrisponde al valore dell'espressione: (√5 + 1) / 2

  • φ è un numero reale algebrico: infatti è la radice positiva dell'equazione:

    x ² − x − 1 = 0

  • Da quest'ultima proprietà seguono due interessanti caratteristiche:
    1.   φ − 1 = 1 / φ
    2.   φ + 1 = φ ²
  • φ è legato alla successione di Fibonacci: infatti φ è il limite, per n → ∞, del rapporto

    F(n+1) : F(n)

    inoltre vale la formula:

    φn = F(n) φ + F(n+1)

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