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Zero


Simbolo: 0

Usato per: indicare l'elemento neutro rispetto alla somma

Valore approssimativo: 0

Classificazione: numero naturale, pari, intero, razionale, algebrico, reale.

Storia

Sebbene sia un numero fondamentale, lo zero non fu utilizzato nelle prime civiltà: anche i greci, gli egizi o i babilonesi non ritenevano importante scrivere qualcosa che di fatto non valeva "nulla"; tali civiltà utilizzavano i numeri per questioni pratiche: contare il bestiame, calcolare la grandezza di un campo, non aveva quindi senso parlare di qualcosa che non esisteva.
Si pensa che il simbolo 0 derivi dalla lettera greca omicron, utilizzata spesso per indicare qualcosa di poco valore.

Con la numerazione posizionale (quella che usiamo noi), ogni cifra non ha un valore universale, ma vale a seconda del posto in cui si trova: 213 è diverso da 132! Da qui l'esigenza di capire quali fossero le posizioni giuste e l'esistenza di posizioni "saltate": per scrivere il numero centosei, ossia 1 centinaio e 6 unità, non possiamo scrivere 16, altrimenti il centinaio diventerebbe una decina: dobbiamo scrivere 106!

Lo zero ha acquistato anche un significato di origine dei numeri, ed è utilizzato quindi in quasi tutte le scale numeriche come punto di parteza, come valore iniziale; anche in analisi (e in geometria analitica) lo zero è il valore in cui gli assi cartesiani si incrociano.

Proprietà

  • Lo zero è l'elemento neutro (o unità) della somma, infatti qualunque numero sommato a zero non viene modificato, resta come prima:
    7 + 0 = 7
    3 − 0 = 3.
  • Lo zero è l'annullatore della moltiplicazione: ogni numero moltiplicato per zero vale zero:
    15 · 0 = 0
    0 · 3,14 = 0.
    Questa proprietà comporta 2 importanti coneguenze:
    1. non si può dividere alcun numero per zero: ogni numero è un possibile risultato, quindi non c'è un risultato giusto (in matematica non si sceglie un risultato "a caso");
    2. se un prodotto ha come risultato zero, allora uno dei fattori deve per forza valere zero: tale proprietà si chiama legge d'annullamento del prodotto.
  • Normarlmente lo zero non è considerato un numero naturale, ma su questo punto i matematici non sono tutti d'accordo; tuttavia è comunque un numero intero relativo, quindi anche razionale: infatti può esser scritto come forma di frazione, in cui il numeratore è zero, e il denominatore un qualunque altro numero.

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Uno


Simbolo: 1

Usato per: indicare l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione

Valore approssimativo: 1

Classificazione: numero naturale, dispari, intero, razionale, algebrico, reale.

Storia

Uno è stato il primo numero utilizzato in passato; anche le civiltà antiche che non possedevano un sistema di numerazione, sapevano distinguere il singolo dai molti.

In quasi tutte le civiltà l'uno veniva rappresentato con un segmento (orizzontale o verticale); da questa consuetudine si pensa che derivi l'attuale simbolo 1.
La parola stessa "unità", in tutti i suoi diversi significati, deriva dalla parola "uno".

Proprietà

  • L'uno è l'elemento neutro (o unità) del prodotto; infatti qualunque numero moltiplicato per uno non viene modificato, resta come prima:
    5 · 1 = 5
    1 · (-2) = -2
  • L'uno è il più piccolo dei numeri naturali, ed è considerato un concetto primitivo della matematica: è il punto di partenza per costruire tutta la matematica (vedi gli assiomi di Peano).
  • Essendo un numero naturale, è anche razionale: infatti può esser scritto come forma di frazione, in cui il numeratore e il denominatore sono uguali (purché diversi da zero...).
  • È l'unico numero naturale non primo a non esser fattorizzabile in altri fattori: a differenza di quanto si crede comunemente, uno non è un numero primo, in quanto un numero primo possiede due fattori distinti, né più, né meno, mentre uno possiede un solo fattore: esso stesso.

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Unità immaginaria


Simbolo: i

Usato per: indicare il numero (non reale) il cui quadrato sia −1

Valore approssimativo: non è un numero reale

Classificazione: numero immaginario.

Storia

L'unità immaginaria fu introdotta nel XVI secolo come artificio algebrico, studiata da Tartaglia e Cartesio per la risoluzione di equazioni algebriche che non ammettevano soluzioni reali; nel XVIII secolo con Eulero fu formalizzata la teoria dei numeri complessi, che con Gauss entrano a far parte a pieno della teoria algebrica e analitica.

Proprietà

  • È un numero complesso, in particolare è un immaginario puro.
  • Valgono le seguenti identità:

    i2 = −1     i3 = −i     i4 = 1     i5 = i

  • i è utilizzato per estendere i numeri reali R ai numeri complessi C (vedi insiemi numerici) ottendendo quindi un insieme di numeri "algebricamente chiuso":
    ogni polinomio a coefficenti interi di grado n ha esattamente n zeri complessi
    (per zero di un polinomio si intende una sua radice, ossia un valore della lettera che rende nullo il polinomio).
  • Vale la seguente identità di Eulero tra numeri complessi:

    ei π + 1 = 0

    che è un caso particolare dell Formula di Eulero:

    ei α = cos(α) + i·sen(α)

    nel caso in cui α = π.
    Si può osservare che l'identità di Eulero contiene ben 5 costanti fondamentali: 0, 1, i, e, π.

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